Tablica 6-2: Dwa ciągi zbieżne do e

Istnieją dwie metody przybliżania liczby e: ciągiem (Subscript[t, n])=(((1+(1/n)))^n), gdy n dąży do nieskończoności oraz szeregiem (∑_(n=0)^∞)(1/(n!)). Porównamy szybkość zbieżności obu metod.

Najpierw sprawdźmy czy program Mathematica umie liczyć granicę ciągu ((Subscript[t, n])) i granice ciągu sum częściowych ((Subscript[s, n])) szeregu (∑_(n=0)^∞)(1/(n!)).

Limit[(1+1/n)^n,n->∞]

Limit[(∑_(n=0)^k)(1/(n!)),k->∞]

rys4=ListPlot[Table[N[(((1+(1/n)))^n),100],{n,1,100}],BaseStyle->{FontSize->16},PlotStyle->{AbsolutePointSize[4],Hue[0.6`]},AxesOrigin->{1,2},PlotRange->{{1,100},{2,3}},AxesLabel->{Style["n",FontSize->18,FontWeight->"Bold"],Style["\!\(\*SubscriptBox[\(t\), \(n\)]\)",FontSize->18,FontWeight->"Bold"]}]

rys5=ListPlot[Table[(∑_(n=0)^k)(1/(n!)),{k,1,100}],BaseStyle->{FontSize->16},PlotStyle->{AbsolutePointSize[4],Hue[0.1`]},AxesOrigin->{1,2},PlotRange->{{1,100},{2,3}},AxesLabel->{Style["n",FontSize->18,FontWeight->"Bold"],Style["\!\(\*SubscriptBox[\(s\), \(n\)]\)",FontSize->18,FontWeight->"Bold"]}]

Show[GraphicsRow[{rys4,rys5}]]

Kropki pomarańczowe to wartości (Subscript[s, n]), kropki niebieskie to wartości (Subscript[t, n]) a linia czerwona to wartość e. Z poniższego rysunku widać, że (Subscript[s, n])jest znacznie lepszym przybliżeniem.

Show[rys4,rys5, Graphics[{AbsoluteThickness[1],Hue[0.9],Line[{{0,E},{100,E}}]}]]

Jeszcze lepiej szybkość zbieżności można ocenić na wykresie logarytmicznym.

rys6=ListPlot[Table[N[Log[E-(∑_(n=0)^k)(1/(n!))],50],{k,1,50}],BaseStyle->{FontSize->16},PlotStyle->{AbsolutePointSize[4],Hue[0.1`]},AxesLabel->{Style["n",FontSize->18,FontWeight->"Bold"],Style["log(e-\!\(\*SubscriptBox[\(s\), \(n\)]\))",FontSize->18,FontWeight->"Bold"]}]

rys7=ListPlot[Table[Log[E-(((1+(1/n)))^n)],{n,1,500}],BaseStyle->{FontSize->16},PlotStyle->{AbsolutePointSize[4],Hue[0.6`]},AxesLabel->{Style["n",FontSize->18,FontWeight->"Bold"],Style["log(e-\!\(\*SubscriptBox[\(t\), \(n\)]\))",FontSize->18,FontWeight->"Bold"]}]

Jeszcze lepiej różnicę szybkości zbieżności można ocenić na wykresie logarytmicznym.

Show[rys6,rys7]